Hoe werkt de stelling van pythagoras?

De stelling van Pythagoras is een van de meest fundamentele theorema’s in de wiskunde en wordt al eeuwenlang gebruikt om de lengte van zijden van rechthoekige driehoeken te berekenen. In deze uitleg zullen we bespreken wat de stelling van Pythagoras is, hoe deze werkt en hoe deze kan worden toegepast.

Wat is de stelling van Pythagoras?

De stelling van Pythagoras stelt dat in een rechthoekige driehoek, het kwadraat van de lengte van de schuine zijde (de hypotenusa) gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de andere twee zijden (de rechthoekszijden). Dit kan worden geschreven als:

a^2 + b^2 = c^2

Hierbij staat ‘a’ voor de lengte van de ene rechthoekszijde, ‘b’ voor de lengte van de andere rechthoekszijde en ‘c’ voor de lengte van de hypotenusa.

Hoe werkt de stelling van Pythagoras?

De stelling van Pythagoras is gebaseerd op het principe van het kwadrateren van getallen. Als we bijvoorbeeld een lijn hebben met lengte ‘a’, dan is het kwadraat van die lengte gelijk aan ‘a^2’. Op dezelfde manier is het kwadraat van de lengte ‘b’ gelijk aan ‘b^2’. Als we deze twee kwadraten bij elkaar optellen, krijgen we:

a^2 + b^2

Dit is precies de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek. Maar wat heeft dit te maken met de lengte van de hypotenusa?

Als we een vierkant construeren op elk van de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek en deze samenvoegen tot een derde vierkant, dan is de oppervlakte van dit derde vierkant gelijk aan de som van de oppervlaktes van de eerste twee vierkanten. Dit komt omdat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan de lengte van een zijde in het kwadraat.

Als we de lengte van de hypotenusa als een derde zijde aan dit derde vierkant toevoegen, zien we dat de oppervlakte van dit vierkant gelijk is aan ‘c^2’. Aangezien de oppervlakte van dit vierkant ook gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de eerste twee vierkanten, hebben we:

a^2 + b^2 = c^2

Dit is precies de stelling van Pythagoras!

Hoe kan de stelling van Pythagoras worden toegepast?

De stelling van Pythagoras kan worden toegepast om de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek te vinden als de lengtes van de andere twee zijden bekend zijn. Bijvoorbeeld, als we weten dat een van de rechthoekszijden een lengte heeft van 3 en de andere een lengte heeft van4, kunnen we de lengte van de hypotenusa berekenen door de stelling van Pythagoras toe te passen:

a^2 + b^2 = c^2 3^2 + 4^2 = c^2 9 + 16 = c^2 25 = c^2 c = 5

Hieruit blijkt dat de lengte van de hypotenusa gelijk is aan 5.

De stelling van Pythagoras kan ook worden gebruikt om te controleren of een driehoek rechthoekig is. Als we de lengtes van de drie zijden van een driehoek kennen, kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen om te zien of de driehoek rechthoekig is. Als de lengtes van de zijden niet voldoen aan de stelling van Pythagoras, dan is de driehoek niet rechthoekig.

Een ander gebruik van de stelling van Pythagoras is in de driehoeksongelijkheid. Deze stelt dat de lengte van elke zijde van een driehoek kleiner moet zijn dan de som van de lengtes van de andere twee zijden. Als de lengtes van de drie zijden van een driehoek niet voldoen aan de driehoeksongelijkheid, dan is de driehoek niet geldig.

De stelling van Pythagoras is een van de meest fundamentele theorema’s in de wiskunde. Het stelt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden. De stelling van Pythagoras kan worden gebruikt om de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek te vinden als de lengtes van de andere twee zijden bekend zijn. Bovendien kan de stelling van Pythagoras worden gebruikt om te controleren of een driehoek rechthoekig is en om de driehoeksongelijkheid toe te passen. Met deze kennis kunnen we rechthoekige driehoeken oplossen en in verschillende toepassingen gebruiken, waardoor de stelling van Pythagoras een onmisbaar onderdeel van de wiskunde blijft.